ミスがありました。αsは有限みたいです。
後は以下の補題です。
無限大に発散するコラッツ列でx0を最小値にとれば、
x0からx∞まで等比数列で下から押えられる
xs > x0*a^s ③
コラッツパターンにおいて、左端の傾きをd1、
右端の傾きをd2(=log1.5)とおきます。
sステップ後の左端までの距離l-sは
l-s = s*d1
で、左端から右端までの距離log(xs)は
log(xs) = log(x0) +s*d2 -s*d1
です。
s*d1≦log(x0)の区間では
s*d1≦log(x0) +sd1 -sd1
< log(x0) +sd2 -sd1 ∵ d1 < d2
l-s < log(xs)
が成り立ちます。
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s0 < s < sgまでxs > x0*a^sが成り立つ事がわかりました。
あとはこれをs∞まで広げれば良いわけです。
s0からsgの間に傾きaを上回る二点xf,xf+1が存在する
事が言えます。もしなかったらコラッツ値のグラフが傾きa直線とぶつかって
矛盾するからです。
xf,xf+1でも同様に
xs > xf * b^t s < sh が言えます。変形して
> x0 * a^f * b^t
> x0 * a^(f+t) ∵ a x0*a^sが言えます。
