おさらいです。
コラッツ予想を2進数で考えます。
コラッツ数列の奇数のみを並べると以下のようなパターンができます。
これをコラッツパターンと名付けます。
（下位ビットが左）
111 7
1101 11
10001 17
01011 13
000101 5
0000001 1
コラッツパターンは以下のルールで下へ伸びていきます。
(1)「1」の塊は、次ステップで両端が離れる
「11」は「1001」に、「111」は「10101」になります。
(2)単独の「1」は、次ステップで「11」になる
(3)「11011」のような、次ステップで左「1」と右「1」が
重なる場合は、右(上位)へ繰り上がる
「11011」は次ステップで「1000101」になります。
(4)最後に、左端に+1する
sステップ後値の初期値0位置からの距離をLnとおきましょう。
例の5ステップ目はLn=7となります。
次に、ルール(4)を削除したパターンを考えてみます。
左端がえんえんと左へ伸びていきます。
00000111
000010101
000111111
0010111101
01110110001
10100101011
左端を伸ばすパターンと名付けます。
sステップ後値の初期値0位置からの距離をLlとおきましょう。
例の5ステップ目はLl=6となります。
例からも分かるように、Ln=Llの時とLn=Ll+1の時があります。
これ以外はないことを証明します。
コラッツパターンのルールより、1ステップ後の右端は+0 or +1です。
左端に+1しているから、Ln≧Llです。
なので、Ln=Llから1ステップ後Ln=Ll+1になるところを考えてみます。
図より、Ln=Ll→Ln=Ll+1になることはありえるが、その次のステップで
Ln=Ll+1→Ln=Llになるので、2以上ずれることはありません。
Ln=Ll or Ln=Ll+1です。
↑ちょっとギャップがありますが
修正できます。
修正しました。
初めてコラッツパターンと左端を伸ばすパターンがずれる所を考える
ずれるステップをsとおく
↓
s-1,s-2,s-3のずれはない
↓
特定のパターン（2つ）しかあらわれない
↓
その特定のパターンはsでずれて、s+1,s+2,s+3ではずれない
↓
次にずれる時s2も、s2-1,s2-2,s2-3のずれはない
