ミスがありました。αsは有限みたいです。
コラッツ値xsが無限大に発散するとします。
xs = x0 *3^s/2^l *(1+1/3x0)…(1+1/3x_s-1)
xs < x0 *(3/2)^s s
> 1 +1/3x0 +1/3x0(3/2) +…+1/3x0(3/2)^(s-1) +… 等比数列の和
1+1/x0 < (1+1/3x0)…(1+1/3x_s-1)…
左辺第二項を大きくして、イコールになるところをα0とおく
1+α0/x0 = (1+1/3x0)…(1+1/3x_s-1)… ①
同様にx1からスタートして
1+α1/x1 = (1+1/3x1)…(1+1/3x_s-1)… ②
-
- -
②を①に代入
(1+1/3x0)(1+α1/x1) = 1+α0/x0
きれいにして
(3α0-1)x1 = α1(3x0+1)
x1=(3x0+1)/2^qを代入して
(3α0-1)(3x0+1) = 2^q * α1(3x0+1)
x0の部分が消えて
α1 = α0 * 3/2^q * (1-1/3α0)
xsが発散する
→ q=1が多い、αsが大きくなるとかっこの効果も弱まる
→ αsも発散する
-
- -
一方、無限大に発散するコラッツ列でx0を最小値にとれば、
x0からx∞まで等比数列で下から押えられる
と仮定する。 xs > x0*a^s ③
(1+1/3x0)…(1+1/3x_s-1)… < (1+1/3x0)…(1+1/(3x0*a^(s-1)))…
≒ 1 +1/3x0 +1/3x0a +…+1/3x0a^(s-1) +…
不等号が成り立つようにaを少し小さくする
(1+1/3x0)…(1+1/3x_s-1)… = 1+α0/x0 < 1+1/x0 *a/3(a-1)
コラッツ列をグラフにした時に、下に凸な点を考える。
x0より後でx0の次に小さいxm1で
1+αm1/xm1 < 1+1/xm1 *a/3(a-1)
xm1より後でxm1の次に小さいxm2で
1+αm2/xm2 < 1+1/xm2 *a/3(a-1)
このプロセスはいくらでも続けられるので、
αmは発散するが、a/3(a-1)は一定なので矛盾する。
