(8)補題２の証明

補題２

２．「差のパターン」の右端は、それより大きい傾きで進行する

の証明を書き直します。

コラッツ操作を式で表した

x(3/2)^n + 3^(n-1)/2^n + 3^(n-2)/2^(n-1)*□ + ... + 3^1/2^2*□ + 1/2*□ = X
　x(3/2)^n + f(n) = X　と置く

□には1か、2のべき乗が入ります。
先頭のx(3/2)^nが「左端を伸ばすパターン」、
残りの太字f(n)が「差のパターン」に対応しています。

と、f(n)を等比級数であらわした

(3/2)^n -1 ≦ f(n)　　　───(ﾛ)

を使います。

オートマトンは2進数で表現しているので、f(n)の対数を取ります。
log₂f(n)

「差のパターン」の傾きを知りたいので、差分を取ります。
log₂f(n+1) - log₂f(n)
＝log₂{f(n+1) / f(n)}
≧log₂[ {(3/2)^(n+1) - 1} / {(3/2)^n - 1} ]
　　───(ﾛ)式と{(3/2)^(n+1) - 1} ＞ {(3/2)^n - 1}より
この式が「元のコラッツパターン」の傾きlog₂(3/2)より
大きい事が言えれば良いわけです。

一般に1より大きいaに対して
a^(n+1) -1 > a^(n+1) -a
が言えます。これを変形して
a^(n+1) -1 > a*(a^n -1)
(a^(n+1) -1) / (a^n -1) > a
aに3/2を代入して、対数を取れば求めたい式が得られます。

log₂{f(n+1) / f(n)}
　≧　log₂[ {(3/2)^(n+1) - 1} / {(3/2)^n - 1} ]
　＞　log₂(3/2)

以上で補題２が証明できました。