コラッツ予想がとけたらいいな2

自分の考察を書いていきます。

(3)ある正方図式その2

具体的な数を入れると以下のようになります。

         
         1 ←  4 ← 16 ← 64 ← 256 ←...
        ↑  ↑    ↑  ↑  ↑
         0 ⇒  1 ⇒  5 ⇒ 21 ⇒ 85 ⇒...
       

 
これを「コラッツ正方図式」と名付けましょう。

これをさらに縦方向にも拡大します。
コラッツ正方図式の右下に注目して、すべての奇数を並べます。
すると、以下のような表が出来ます。
縦にも横にも無限に大きい表です。

正方図式の左上-赤い背景-の場所には、「3の倍数の奇数」※を除く
全ての奇数が並びます。

正方図式の右下-青い背景-の場所には、灰色の部分を除く
全ての奇数が並びます。

灰色の部分は、正方図式の右のほうとダブっているので消した部分です。
すべての奇数を並べたいので残してあります。


この表を中心に考察を続けます。



補題1

なぜ赤い背景の場所には、「3の倍数の奇数」が表れないか

背理法で考えます。
コラッツ変換後に「3の倍数の奇数」が表れるとして、
その数を3xとおけば、
コラッツ変換前の数はy=(3x*2^p-1)/3となります。
この数yは、3の倍数から1を引いたものを3で割っているので、
自然数になりえません。以上です。

コラッツ予想において、「3の倍数の奇数」は(圏論チックに)始対象なのです。