コラッツ予想がとけたらいいな2

自分の考察を書いていきます。

(1)コラッツ予想を逆向きに辿ってみる

コラッツ予想とは、以下の予想です。

自然数nを選び,

[1] 奇数ならば、3倍して1を加える。

[2] 偶数ならば、2で割る。

これを繰り返すと、どんなnを選んでも、いつかは1になる。

1の後を続けると、1→4→2→1→4→2→1→…となってループするので、

コラッツ操作により、どんな数も、4→2→1ループする
               (自明なループにたどり着く)

と言いかえる事もできます。

例えば9であれば

9→28→14→7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1

となって最後は1になります。


ここで、コラッツ操作の逆向きを考えてみましょう。

自然数1を選び、次の二つの操作を並行しておこなう。

[1] とにかく2倍する。

[2] 1引いた数が3で割り切れるならば、1引いて3で割る。

これを図に書くと、以下のようになります。

いわゆる木構造が出来るわけです。
1を根(root)として、すべて?の自然数が並びます。
これを「コラッツ・ツリー」と名付けましょう。
また後ほど登場します。


ぐぐると、以下のようなサイトがありました。
http://www7.plala.or.jp/isaragi/Lisu-ca/js/korattu3.htm
http://www2.ocn.ne.jp/~atel.a/math/collatzstree1.html